はじめに
大阪大学の整数問題です．
文系出題としては難しめの気もしますが，誘導もしっかりついていますしちょうど良い問題だと思います．
今回の問題は，難易度Bです．
ますプラの問題演習では，独自でつけた難易度でタグ付け，さらに東大と京大は別でタグ付けをしてあります．見直す際に利用してください．
難易度は以下のようにざっくりと３つに分けています．
- S：特別な知識や熟考が必要なもの（入試では解けなくても問題なし！）
- A：難問（解けるとアドバンテージ）
- B：典型問題（解けなければディスアドバンテージ）
これは主観的な評価で，大まかな分類だと思っておいてくださいね．
もくじ
今回の問題
問題
(1) $a$を正の実数とし，$k$を$1$以上の実数とする．$x$についての$2$次方程式\[x^2-kax+a-k=0\]は不等式\[-\frac1a<s\leqq1\]をみたすような実数解$s$をもつことを示せ．
(2) $a$を$3$以上の整数とする．$n^2+a$が$an+1$で割り切れるような$2$以上の全ての整数$n$を$a$を用いて表せ．
考え方・解答解説は次ページ