論証
特定の分野というよりも数学全体の理解に関わる集合論や論証を扱います．
2020/9/28
【難度S】演習13〜早稲田大学（教育）・2017年〜
はじめに 抽象関数に関する問題です．答えの予想はつくのですが，いざ証明するとなると難航すると思います． 早稲田大学は学部ごとに特徴があって個人的に好きです．商学部と理工学部が難しいので有名ですが，本問のように教育学部（理数）も面白い出題がされています． 今回の問題は，難易度Sです． ますプラの問題演習では，独自でつけた難易度でタグ付け，さらに東大と京大は別でタグ付けをしてあります．見直す際に利用してください． 難易度は以下のようにざっくりと３つに分けています． S：特別な知識や ...
2020/9/28
【難度A】演習11〜東京都立大学・1987年〜
はじめに 多項式の集合と写像に関する問題です． 集合と言えば数を含んでいるイメージが強いでしょうが，「一次式」全体を集合と捉えて他の多項式との対応関係（＝関数）を考えてもなんら問題ありません． とっつきづらいかもしれませんが… 今回の問題は，難易度Aです． ますプラの問題演習では，独自でつけた難易度でタグ付け，さらに東大と京大は別でタグ付けをしてあります．見直す際に利用してください． 難易度は以下のようにざっくりと３つに分けています． S：特別な知識や熟考が必要なもの（入試では ...
2020/9/28
【難度A】演習10〜京都大学・1999年（後期）〜
はじめに 一般化された図形の存在を示す，京大の有名な問題です． 知っていれば一瞬で解けるのですが，当時の受験生は相当困らされたことと思います． 今回の問題は，難易度Aです． ますプラの問題演習では，独自でつけた難易度でタグ付け，さらに東大と京大は別でタグ付けをしてあります．見直す際に利用してください． 難易度は以下のようにざっくりと３つに分けています． S：特別な知識や熟考が必要なもの（入試では解けなくても問題なし！） A：難問（解けるとアドバンテージ） B：典型問題（解けなけ ...
2020/10/5
【難度A】演習3〜千葉大学・2010年（後期）〜
はじめに 今回は問題演習編． ますプラの問題演習では，独自でつけた難易度でタグ付け，さらに東大と京大は別でタグ付けをしてあります． 見直す際に利用してください． なお，変に先入観をもたないようにあえて単元やテーマは明示しないようにしています．（カテゴリータグを見れば分かってしまいますが…） 難易度は以下のようにざっくりと３つに分けています． S：特別な知識や熟考が必要なもの（入試では解けなくても問題なし！） A：難問（解けるとアドバンテージ） B：典型問題（解けなければディスアドバンテージ） ...
2020/8/26
「存在」命題の証明法５パターン
short summary! 存在命題の証明は５手覚える． １具体的に要素を挙げる ２中間値の定理 ３平均値の定理 ４部屋割り論法 ５背理法 はじめに 存在命題は，名前の通り「存在」に関するもので，全称と対の関係にあります． 「”ある/適切な/適当な”$n$について成立」 「〜を満たすような$n$が存在する」 のようなセリフとして登場します． 今回はこの「存在」が絡んだ証明問題の解法を学んでいきましょう． 存在命題の証明 存在証明は全称命題よりも分かりやすいと思います． 「存在」には「少なくとも１つ」とい ...
2020/8/26
「全称」命題の証明法４パターン
short summary! 全称命題の証明は４手覚える． １最大最小や不等式 ２数学的帰納法 ３剰余系 ４背理法 はじめに 全称命題という言葉を聞いたことはあるでしょうか． 大まかに言うと「全」のイメージで， 「”任意の/全ての/どんな”nについて成立」 のようなセリフとして登場します． 今回はこの「全称」が絡んだ証明問題をどう解き崩していくかを学んでいきましょう． 全称命題の証明 基本的に全称命題の証明は難しいです． 「全ての一桁の整数について示せ」なら0-9までの10個の数を代入してしまえば済む話で ...
2020/8/26
背理法：論証における「否定」の利用について
short summary! $A\Rightarrow B\ $を$\ A\cup \overline{B}\Rightarrow \phi\ $に変換 証明問題では一度使えるか試す 「矛盾」がどこから生まれるか考える はじめに 今回は「否定」特に論証における利用について考えていきます． 背理法は数ある証明の方法の中でもとても強力なものです．是非マスターしましょう！ 似ているもので対偶法との違いについても解説していきます． 背理法とは まずは背理法とは何かというところから． 証明問題では， 「条件Aが与 ...
2020/8/26
必要と十分と必要十分
short summary! 「矢の先が必要」でとりあえず暗記 必要は大きいイメージ・十分は小さいイメージ はじめに 「必要と十分」きちんとわかっていますか？ 日本語でもよく使う馴染みのある言葉のはずですが，いまいちよく理解出来ていない人も多いかと思います． 今回は定義から丁寧に解説していきます．しっかり読み込んでもらえれば，この先絶対に混同することはないはずです． 必要と十分とは 必要と十分は集合の包含関係を表しています．上の場合であれば，BがAを包含していますから， \[A\Rightarrow B\ ...