整数の基本2：大小関係（不等式評価）

はじめに

今回は整数の基本3ヶ条の2つ目，約数・倍数関係について解説していきます．

（3ヶ条の記事を読んでいない場合はこちら(click!)から．）

もっともシンプルですが，応用範囲が非常に広いところです．

「離散性」を使って「整数を絞り込む」ことを意識して，読み進めていってください．

大小関係（不等式評価）の利用

上にも書いてありますが，大小関係とは不等式のことです．「○$<$整数$<$×」という形を作れば良いのですね．

例題

この問題をぱっと見て，どう感じたでしょうか．

3つの逆数和が1になる数の組み合わせ…そんなに多くはなさそうですよね？

平均が$ \displaystyle\frac13$なんて考えた人はいるでしょうか？着眼点はいいと思います。
$x,\,y,\,z$がすべて$\displaystyle\frac13$以上であれば，和は1よりどうしても小さくなってしまうということです。

「そんなに多くはない」というところから攻めるのであれば，大小関係の出番です．
今回は$x,\,y,\,z$が自然数ですから，0以上です．上限を見つけてしまえば，候補は有限個に絞り込めます．

さて，今回の本題に入ります．大小関係（不等式評価）を利用するときは，次の2点を押さえておきましょう．

1つ目はそのままの意味です．

今回のように文字に対称性がある場合は，大小を勝手に決めてしまっても問題ありません．（「一般性を失わない」といった書かれ方もされます．）

$x,\,y,\,z$の順に大きくなるとして，この条件を用いて絞り込みを行います．与えられた条件ではないので最後に答えを書くときには元に戻しましょう．

2つ目の「不自然な大小関係」について詳しく説明します．

いきなりですが，①$\ x^2 < 4x$と②$\ x^2 > 4x$という式を考えましょう．

2次不等式をそれぞれ解くと①$\ 0<x<4$と②$\ x<0,\,4<x$になりますね．

では$x$が整数であればどうでしょうか．
①では$x=1,\,2,\,3$と3つに絞り込まれました．一方で②を満たす整数$x$は無数に存在してしまいますね．

両辺から不等式評価が出来なければ値は絞り込めません．

両辺から不等式評価するためには，ある程度条件が厳しい必要があります．次のようなものです．

まとめると，

不自然な大小関係がある＝厳しい条件！＝「○$<$整数$<$×」という形を作れる（かも）

と考えましょう．

例題なら，左辺は分数式（-1次），右辺は定数（0次）です．小さいはずの左辺と大きいはずの右辺が等号で結ばれているのですから，ここが不自然な大小ですね．

あとは自分で決めた$x,\,y,\,z$の大小を用いて，1文字ずつ「○$<$整数$<$×」という形を作っていきましょう．

例題解答

単純な不等式評価でも，整数問題においては大きな意味を持ちます．

まとめ