【難度B】演習６〜大阪大学・2016年〜

2020年8月31日 2020年10月1日

はじめに

大阪大学の整数問題です．

文系出題としては難しめの気もしますが，誘導もしっかりついていますしちょうど良い問題だと思います．

今回の問題は，難易度Bです．

ますプラの問題演習では，独自でつけた難易度でタグ付け，さらに東大と京大は別でタグ付けをしてあります．見直す際に利用してください．

難易度は以下のようにざっくりと３つに分けています．

S：特別な知識や熟考が必要なもの（入試では解けなくても問題なし！）
A：難問（解けるとアドバンテージ）
B：典型問題（解けなければディスアドバンテージ）

これは主観的な評価で，大まかな分類だと思っておいてくださいね．

今回の問題

問題

(1) $a$ を正の実数とし， $k$ を $1$ 以上の実数とする． $x$ についての $2$ 次方程式 $x^{2} - k a x + a - k = 0$ は不等式 $- \frac{1}{a} < s ≦ 1$ をみたすような実数解 $s$ をもつことを示せ．

(2) $a$ を $3$ 以上の整数とする． $n^{2} + a$ が $a n + 1$ で割り切れるような $2$ 以上の全ての整数 $n$ を $a$ を用いて表せ．

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