【難度B】演習６〜大阪大学・2016年〜

解答解説

(1)はただの解の存在範囲に関する問題．

因数分解も出来なさそうですから，解答のように端点の符号から中間値の定理を使うのは定石ですね．

中間値の定理を使うときには連続性への言及を忘れずに．

(2)からが整数問題で，考えることと言えばいつものこちら．

この３つのどれを用いて「整数の範囲を絞り込むか」が整数問題攻略の鍵となります．

実はこの問題，前回の阪大の整数問題とかなり考え方が近い問題です．

「割り切れる」というところは一見すると約数倍数関係や剰余系（今回は割る数が$an+1$なので少しずれています）を使いたくなりますね．

しかし，実際に割ってみると，商も余りも整数かどうか怪しくなってしまいます．

ここでよく問題構成を見直す必要があります．

(1)(2)の順で出題されているなら，前の問いは次の問題の誘導になっていることがほとんどです．

(1)は(2)を解くために大学側が与えてくれるヒントなわけです．

『(1)をどのように使えばいいのだろう？』

『示したものが「不等式」なので，大小関係から絞り込みではないか』

と，正しい方針に至るわけです．

まず商を文字でおかなくては話は始まりませんから，これを$k$とおくとそのまま(1)の式が出てきますね．

ただし，$n$は(1)の範囲外にある解なので，もう一方の解を$s$について考えなくてはいけません．ここは少し難しいですね．

$s$が整数であることを示してしまえば，不等式で絞り込めているので後は簡単です．

「$a$が$3$以上」という条件，少し引っかかりませんでしたか？これは$n$が$2$以上という条件を反映しています．

$a$が$2$なら$n=a-1=1$となって，(1)の範囲内になってしまいますからね．