【難度A】演習1〜京都大学・1989年（後期）〜

座標平面において，$x$座標，$y$座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．$4$つの格子点$\mathrm{O}(0,0),\mathrm{A}(a,b),\mathrm{B}(a,b+1),\mathrm{C}(0,1)$を考える．ただし，$a,b$は正の整数で，その最大公約数は$1$である．

(1) 平行四辺形OABCの内部（辺，頂点は含めない）に格子点はいくつあるか．

(2) (1)の格子点全体を${\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2,\cdots ,{\mathrm{P}}_t$とするとき，$\mathrm{△}{\mathrm{OP}}_i\mathrm{A}(i=1,2,\cdots ,t)$の面積のうちの最小値を求めよ．

平行四辺形OABCの内部は，不等式

$$0<x<a\cdots \mathrm{①}$$

$$\frac{b}{a}x<y<\frac{b}{a}x+1\cdots \mathrm{②}$$

によって表される．

$a,b$が互いに素であるので，①に適する$x$の整数値
$$x=1,2,\cdots ,a-1$$
に対して，${\displaystyle \frac{b}{a}}x,{\displaystyle \frac{b}{a}}x+1$は整数とならない．さらに，この２数の差が$1$であるので，${\displaystyle \frac{b}{a}}x$と${\displaystyle \frac{b}{a}}x+1$の間に整数は一つだけ存在する．

よって，$x=1,2,\cdots ,a-1$のそれぞれについて，②に適する$y$は一つ存在し，求める格子点の個数は$a-1$個．

(2)

格子点を${\mathrm{P}}_i(x_i,y_i)(1\leqq i\leqq a-1)$とおく．ここで，$\mathrm{△}{\mathrm{OP}}_i\mathrm{A}$の面積は，
$$\mathrm{△}{\mathrm{OP}}_i\mathrm{A}=\frac{1}{2}|a{y}_i-b{x}_i|\cdots \mathrm{③}$$
と表せる．

②より，

${\displaystyle \frac{b}{a}}x<y_i<{\displaystyle \frac{b}{a}}x+1$

$\iff 0<a{y}_i-b{x}_i<a$

$\iff 1\leqq a{y}_i-b{x}_i\leqq a-1$

$(\because a{y}_i-b{x}_i\in \mathbb{Z})\cdots \mathrm{④}$

である．ここで，異なる正の整数$k,l$について，
$$a{y}_k-b{x}_k=a{y}_l-b{x}_l$$
とすると，移項して，
$$a(y_k-y_l)=b(x_k-x_l)$$
が成立する．

$a$と$b$は互いに素であるため，$x_k-x_l$が$a$の倍数となるが，$k\ne l$で$0<x_k-x_l<a-1$であるので不適．

よって，$a{y}_i-b{x}_i(1\leqq i\leqq a-1)$は互いに異なる$a-1$個の整数である．

④と合わせて，$a{y}_i-b{x}_i$の値は$1,2,\cdots ,a-1$を一つずつ取る．よって③より，$\mathrm{△}{\mathrm{OP}}_i\mathrm{A}$の面積が最小となるとき，$a{y}_i-b{x}_i=1$であり，そのときの面積は${\displaystyle \frac{1}{2}}$