【難度A】演習1〜京都大学・1989年（後期）〜

座標平面において，$x$座標，$y$座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．$4$つの格子点$\small \mathrm{O}(0,\,0),\,\mathrm{A}(a,\,b),\,\mathrm{B}(a,\,b+1),\,\mathrm{C}(0,\,1)$を考える．ただし，$a,\,b$は正の整数で，その最大公約数は$1$である．

(1) 平行四辺形OABCの内部（辺，頂点は含めない）に格子点はいくつあるか．

(2) (1)の格子点全体を$\mathrm{P}_1,\,\mathrm{P}_2,\,\cdots,\,\mathrm{P}_t$とするとき，$\triangle\mathrm{OP}_i\mathrm{A}\ (i=1,\,2,\,\cdots,\,t)$の面積のうちの最小値を求めよ．

平行四辺形OABCの内部は，不等式

\[0 < x < a\cdots①\]

\[\frac{b}{a}x < y < \frac{b}{a}x+1\cdots②\]

によって表される．

$a,\,b$が互いに素であるので，①に適する$x$の整数値
\[x=1,\,2,\,\cdots,\,a-1\]
に対して，$\dfrac{b}{a}x,\,\dfrac{b}{a}x+1$は整数とならない．さらに，この２数の差が$1$であるので，$\dfrac{b}{a}x$と$\dfrac{b}{a}x+1$の間に整数は一つだけ存在する．

よって，$x=1,\,2,\,\cdots,\,a-1$のそれぞれについて，②に適する$y$は一つ存在し，求める格子点の個数は$a-1$個．

(2)

格子点を$\mathrm{P}_i(x_i,\,y_i)\ (1\leqq i\leqq a-1)$とおく．ここで，$\triangle\mathrm{OP}_i\mathrm{A}$の面積は，
\[\triangle\mathrm{OP}_i\mathrm{A}=\frac12|ay_i-bx_i|\cdots③\]
と表せる．

②より，

$\dfrac{b}{a}x < y_i < \dfrac{b}{a}x+1$

$\Leftrightarrow \,0 < ay_i-bx_i < a$

$\Leftrightarrow \,1\leqq ay_i-bx_i\leqq a-1$

$(\because ay_i-bx_i\in\mathbb{Z})\cdots④$

である．ここで，異なる正の整数$k,\,l$について，
\[ay_k-bx_k=ay_l-bx_l\]
とすると，移項して，
\[a(y_k-y_l)=b(x_k-x_l)\]
が成立する．

$a$と$b$は互いに素であるため，$x_k-x_l$が$a$の倍数となるが，$k\neq l$で$0 < x_k-x_l < a-1$であるので不適．

よって，$ay_i-bx_i\ (1\leqq i\leqq a-1)$は互いに異なる$a-1$個の整数である．

④と合わせて，$ay_i-bx_i$の値は$1,\,2,\,\cdots,\,a-1$を一つずつ取る．よって③より，$\triangle\mathrm{OP}_i\mathrm{A}$の面積が最小となるとき，$ay_i-bx_i=1$であり，そのときの面積は$\dfrac12$