はじめに
多項式の集合と写像に関する問題です．
集合と言えば数を含んでいるイメージが強いでしょうが，「一次式」全体を集合と捉えて他の多項式との対応関係（＝関数）を考えてもなんら問題ありません．
とっつきづらいかもしれませんが…
今回の問題は，難易度Aです．
ますプラの問題演習では，独自でつけた難易度でタグ付け，さらに東大と京大は別でタグ付けをしてあります．見直す際に利用してください．
難易度は以下のようにざっくりと３つに分けています．
- S：特別な知識や熟考が必要なもの（入試では解けなくても問題なし！）
- A：難問（解けるとアドバンテージ）
- B：典型問題（解けなければディスアドバンテージ）
これは主観的な評価で，大まかな分類だと思っておいてくださいね．
もくじ
今回の問題
問題
$\mathbb{R}$を実数全体の集合とする．$\mathbb{R}$の元を係数とする$x$の$2$次以下および$1$次以下の多項式全体の集合をそれぞれVおよびWとおく．また，Vの元$f$にWの元$f^*$を対応させる写像が次の$3$条件(i),(ii),(iii)をみたしていると仮定する．（以下，$(f^*)^*$を$f^{**}$とかく．）
(i) $\mathbb{R}$に属する任意の$a,\,b,\,c$について，$(ax^2+bx+c)^*=a(x^2)^*+bx^*$が成り立つ．
(ii) Vに属する任意の$f$に対して$(f^*)^2-2f^{**}f$は$\mathbb{R}$に属する．
(iii) Wに属する任意の$g$に対してVに属する$f$が存在して$f^*=g$をみたす．
(1) $x^*$が$\mathbb{R}$に属することを示せ．
(2) $x^*=k$とおいて，$(x^2)^*$を$k$を用いて表せ．
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