【難度A】演習11〜東京都立大学・1987年〜

$\mathbb{R}$を実数全体の集合とする．$\mathbb{R}$の元を係数とする$x$の$2$次以下および$1$次以下の多項式全体の集合をそれぞれVおよびWとおく．また，Vの元$f$にWの元$f^{\ast }$を対応させる写像が次の$3$条件(i),(ii),(iii)をみたしていると仮定する．（以下，$(f^{\ast }{)}^{\ast }$を$f^{\ast \ast }$とかく．）

(i) $\mathbb{R}$に属する任意の$a,b,c$について，$(a{x}^2+bx+c{)}^{\ast }=a(x^2{)}^{\ast }+b{x}^{\ast }$が成り立つ．

(ii) Vに属する任意の$f$に対して$(f^{\ast }{)}^2-2f^{\ast \ast }f$は$\mathbb{R}$に属する．

(iii) Wに属する任意の$g$に対してVに属する$f$が存在して$f^{\ast }=g$をみたす．

(1) $x^{\ast }$が$\mathbb{R}$に属することを示せ．

(2) $x^{\ast }=k$とおいて，$(x^2{)}^{\ast }$を$k$を用いて表せ．