【難度A】演習11〜東京都立大学・1987年〜

$\mathbb{R}$を実数全体の集合とする．$\mathbb{R}$の元を係数とする$x$の$2$次以下および$1$次以下の多項式全体の集合をそれぞれVおよびWとおく．また，Vの元$f$にWの元$f^{\ast }$を対応させる写像が次の$3$条件(i),(ii),(iii)をみたしていると仮定する．（以下，$(f^{\ast }{)}^{\ast }$を$f^{\ast \ast }$とかく．）

(i) $\mathbb{R}$に属する任意の$a,b,c$について，$(a{x}^2+bx+c{)}^{\ast }=a(x^2{)}^{\ast }+b{x}^{\ast }$が成り立つ．

(ii) Vに属する任意の$f$に対して$(f^{\ast }{)}^2-2f^{\ast \ast }f$は$\mathbb{R}$に属する．

(iii) Wに属する任意の$g$に対してVに属する$f$が存在して$f^{\ast }=g$をみたす．

(1) $x^{\ast }$が$\mathbb{R}$に属することを示せ．

(2) $x^{\ast }=k$とおいて，$(x^2{)}^{\ast }$を$k$を用いて表せ．

(1)

$x^{\ast }=lx+k$とおくと，(i)より

$$x^{\ast \ast }=l{x}^{\ast }=l(lx+k)$$

よって，(ii)により

$$\begin{array}{rl}& (x^{\ast }{)}^2-2x^{\ast \ast }x\\ & =(lx+k{)}^2-2l(lx+k)x\\ & =-l^2{x}^2+k^2\in \mathbb{R}\end{array}$$

ゆえに$l=0$であるから，$x^{\ast }=k\in \mathbb{R}$

(2)

$(x^2{)}^{\ast }=px+q$とおくと，(i)より

$$(x^2{)}^{\ast \ast }=p{x}^{\ast }=pk$$

よって，(ii)により

$$\begin{array}{rl}& \{(x^2{)}^{\ast }{\}}^2-2(x^2{)}^{\ast \ast }{x}^2\\ =& (px+q{)}^2-2pk{x}^2\\ =& p(p-2k)x^2+2pqx+q^2\\ & \in \mathbb{R}\end{array}$$

これより$p(p-2k)=0$と$pq=0$が成立する．ここで$p=0$とすると$(x^2{)}^{\ast }=q$であるから，Vの任意の元$a{x}^2+bx+c$に対し，(i)より

$$\begin{array}{rl}(a{x}^2+bx+c{)}^{\ast }=& a(x^2{)}^{\ast }+b{x}^{\ast }\\ =& aq+bk\\ & \in \mathbb{R}\end{array}$$

であるから，$1$次式のWの元$g$に対し$f^{\ast }=g$となるVの元$f$が存在しないことになり(iii)に反する．

ゆえに$(p,q)=(2k,0)$であるから，$(x^2{)}^{\ast }=2kx$