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【難度B】演習14（理）〜愛知県立大学〜

2020年9月25日

解答解説

問題

図の正方形ABCD, AEFGにおいて，AB=2AEとする。線分BG, ED上に正方形BGHK, DMLEを図のように作れば，H, F, Lは一直線上にある。これを証明せよ。

３点以上が同一直線上にあるのは特別な状況．なぜなら，直線は異なる２点で決定するからです．

では，「ABCが同一直線上」をどのように示せば良いのでしょうか．大まかに以下の２通りと考えてもらえればいいと思います．

  1. 「直線の一致」と考える
    直線AB＝直線AC：ABとACが平行
    直線AB上にCが存在する，など
  2. 幾何から考える
    メネラウスの定理，角ABCが180度，など

基本は，赤で示した通り①のABとACが平行と考えてもらえればいいでしょう．これが一番扱いやすいです．

（明らかな幾何の問題で誘導がついていると，②で考えることもあり得ます）

 

さて，今回の問題は正方形がたくさん出てきます．

一見すると幾何かな？という気がするのですが，AB=2AEの条件を使うことを考えると，なかなか幾何では扱いづらかったと思います．

というわけで平行条件を考えるのですが，座標を置くには自由度が高すぎるのが問題になります．

そこで，複素数平面の利用を思いつけたかどうか．

「正n角形」や「回転」が絡んだときは複素数平面が非常に有利です．

特に正三角形は東大京大を中心に多くの大学で出題されています．

Aで接しているのでここを原点にとり，まずはDとEの複素数をおきましょう．

この２つと「90度回転」の条件を用いて全ての点を表すことができますから，平行条件の立式をすれば完了です．

複素数平面においては平行条件を「実数倍」と捉えるのではなく，以下のように共役複素数を用いて表現すると楽に（他に文字を置くことなく式だけで）扱えます．（kを実数とします）

ABとACが平行⇔β−α=k(γ−α)⇔β−αγ−α=k（実数）⇔β−αγ−α=β−αγ−α―

解答

点Aを原点とする複素数平面で考える。Eを表す複素数をz1，Dを表す複素数を2z2とし，|z1|=|z2|とする。

AB→はAD→を−90∘，AG→はAE→を90∘回転させたものなので，

B(−2iz2),G(iz1)

である。ここで，

EL→⊥ED→⇔l−z1=(2z2−z1)i⇔l=(1−i)z1+2iz2GH→⊥GB→⇔h−iz1=(−iz1−2−z2)(−i)⇔h=−(1−i)z1−2z2EF→⊥EA→⇔f−z1=(−z1)(−i)⇔f=(1+i)z1

が成立しているので，

l−f=2i(z2−z1)h−f=−2(z1+z2)

よって，

l−fh−f=2i(z2−z1)−2(z1+z2)=z1−z2z1+z2i

また，

(l−fh−f)―=z1―−z2―z1―+z2―(−i)⋯①

ここで，|z1|=|z2|⇔z1z1―=z2z2―であり，この値をrとおくと，

①=rz1−rz2rz1+rz2(−i)=z2−z1z2+z1(−i)=z1−z2z1+z2i

となる。よって，

l−fh−f=(l−fh−f)―

から，l−fh−fは実数であり，H, F, Lは一直線上にある。

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