はじめに
整数係数の整式と有理数解が絡んだ九州大学の超絶良問です．
とにかく重要で，入試までに絶対に経験しておいて欲しい問題の１つです．
1982年とかなりふるいです．本題材はこの時期に流行っていたみたいですね．
今回の問題は，難易度Aです．
ますプラの問題演習では，独自でつけた難易度でタグ付け，さらに東大と京大は別でタグ付けをしてあります．見直す際に利用してください．
難易度は以下のようにざっくりと３つに分けています．
- S：特別な知識や熟考が必要なもの（入試では解けなくても問題なし！）
- A：難問（解けるとアドバンテージ）
- B：典型問題（解けなければディスアドバンテージ）
これは主観的な評価で，大まかな分類だと思っておいてくださいね．
もくじ
今回の問題
問題
整数を係数とする$n(>1)$次の整式
\[ f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n\]
について，次の(1)，(2)を証明せよ。
(1) 有理数$\alpha$が方程式$f(x)=0$の1つの解ならば，$\alpha$は整数である。
(2) ある自然数$k \,(>1)$に対して，
$k$個の整数$f(1), \, f(2), \, \cdots, \, f(k)$のどれもが$k$で割り切れなければ，
方程式$f(x)=0$は有理数の解をもたない。
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