整数・整式

はじめに 整式を決定する問題です． 積分方程式（関数方程式）の形をとっていますが，どこから手をつけるのが良いでしょうか．   今回の問題は，難易度Bです．   ますプラの問題演習では，独自でつけた難易度でタグ付け，さらに東大と京大は別でタグ付けをしてあります．見直す際に利用してください． 難易度は以下のようにざっくりと３つに分けています． S：特別な知識や熟考が必要なもの（入試では解けなくても問題なし！） A：難問（解けるとアドバンテージ） B：典型問題（解けなければディスアドバンテー ...

はじめに 整数係数の整式と有理数解が絡んだ九州大学の超絶良問です． とにかく重要で，入試までに絶対に経験しておいて欲しい問題の１つです． 1982年とかなりふるいです．本題材はこの時期に流行っていたみたいですね．   今回の問題は，難易度Aです．   ますプラの問題演習では，独自でつけた難易度でタグ付け，さらに東大と京大は別でタグ付けをしてあります．見直す際に利用してください． 難易度は以下のようにざっくりと３つに分けています． S：特別な知識や熟考が必要なもの（入試では解けなくても問 ...

はじめに 大阪大学の整数問題です． 文系出題としては難しめの気もしますが，誘導もしっかりついていますしちょうど良い問題だと思います．   今回の問題は，難易度Bです．   ますプラの問題演習では，独自でつけた難易度でタグ付け，さらに東大と京大は別でタグ付けをしてあります．見直す際に利用してください． 難易度は以下のようにざっくりと３つに分けています． S：特別な知識や熟考が必要なもの（入試では解けなくても問題なし！） A：難問（解けるとアドバンテージ） B：典型問題（解けなければディス ...

はじめに 大阪大学の有名な整数問題． 整数について習いたてではなかなか苦戦すると思いますが，しっかり取り組んで欲しい問題です．   今回の問題は，難易度Aです．   ますプラの問題演習では，独自でつけた難易度でタグ付け，さらに東大と京大は別でタグ付けをしてあります．見直す際に利用してください． 難易度は以下のようにざっくりと３つに分けています． S：特別な知識や熟考が必要なもの（入試では解けなくても問題なし！） A：難問（解けるとアドバンテージ） B：典型問題（解けなければディスアドバ ...

はじめに 格子点が絡んだ京大の難問＆良問です． 90年代の京都大学後期はなかなか難問・良問揃いなので当サイトでもたくさん扱っていきます．   今回の問題は，難易度Sです．   ますプラの問題演習では，独自でつけた難易度でタグ付け，さらに東大と京大は別でタグ付けをしてあります．見直す際に利用してください． 難易度は以下のようにざっくりと３つに分けています． S：特別な知識や熟考が必要なもの（入試では解けなくても問題なし！） A：難問（解けるとアドバンテージ） B：典型問題（解けなければデ ...

short summary! 互いに素は否定と肯定の定義を軸に考えよう！ →「互いに素」の解説 はじめに 今回は「互いに素」がテーマとなる問題の演習を積んでいきましょう． 別の記事（下にリンクあり）で「互いに素」について定義からしっかりと解説しているので，学習してから本記事を見てください． 問題   問題1$a,\,b,\,c$を0でない整数とする．$x^3+ax^2+bx+c=0$が有理数解を持つなら，それは整数に限ることを示せ． 問題2$a,\,b$を互いに素な2数とするとき，以下の2数の組 ...

short summary! ・有理数 →分数を代入，整数条件と「互いに素」の利用を意識する ・無理数 →「否定」の利用を意識する はじめに 有理数と無理数を初めて習ったのは中学生の時のはずです． でも「整理して説明せよ」と言われたら詰まってしまう人も多いのではないでしょうか． 実は，定義から順を追って理解すれば問題はワンパターン． 分量が多くなってしまいましたが，しっかり覚えていきましょう！ 定義：有理数と無理数 まずは定義からです．ここが全ての肝になりますから必ず押さえましょう． 有理数：既約分数で表 ...

short summary! 素数条件は「約数・倍数関係」→「剰余系」の順番で攻める！ それではいきましょう！ はじめに 東大や京大をはじめとする入試問題で「素数」という条件はよく出題されます． 「整数」という条件だけでも強力であることはわかっていると思いますが，整数の中でも「素数」は圧倒的に強い条件です． ですので問題に「素数」が出てきた場合は，他の条件そっちのけで利用しにいくぐらいの意識を持っておいてください． 今回はそんな「素数」の性質や使い所をまとめていきましょう． 素数条件の利用 素数である以前 ...

short summary! 「互いに素」の2つの定義 ・最大公約数が$1$ ・共通素因数をもたない に沿って利用・証明を覚える それでは見ていきましょう！ はじめに 「互いに素」という条件は有理数や最大公約数などの問題で登場します． 素数とともに強い条件ですので，「互いに素の利用」と「互いに素の証明」の両方を得意にしていきましょう． 「互いに素」の定義 まずは以下の２つを頭に叩き込みましょう．互いに素数，では決してないので気をつけてください． ①「肯定」最大公約数が$1$である ②「否定」共通素因数を持 ...

short summary! （整数の積）=（約数の分かる値）の形から絞り込む 約数の分かる値は素因数分解が出来る数のこと はじめに 今回は整数の基本3ヶ条の1つ目，約数・倍数関係について解説していきます． （3ヶ条の記事を読んでいない場合はこちら(click!)から．） 整数問題では圧倒的に多く使われる方法で，避けては通れないところです． 「素因数分解の一意性」を使って「整数を絞り込む」ことを意識して，読み進めていってください． 約数・倍数関係の利用 まずは以下の例題を解いてみてください． 例題 さて， ...