はじめに
今回は問題演習編．
ますプラの問題演習では，独自でつけた難易度でタグ付け，さらに東大と京大は別でタグ付けをしてあります．
見直す際に利用してください．
なお，変に先入観をもたないようにあえて単元やテーマは明示しないようにしています．（カテゴリータグを見れば分かってしまいますが…）
難易度は以下のようにざっくりと３つに分けています．
- S：特別な知識や熟考が必要なもの（入試では解けなくても問題なし！）
- A：難問（解けるとアドバンテージ）
- B：典型問題（解けなければディスアドバンテージ）
これは主観的な評価ですし，入試は総合点での勝負ですから，大まかな分類だと思っておいてくださいね．
もくじ
今回の問題
今回の問題は，難易度Aです．
がっつり論証の問題です．クロネッカーの稠密定理とも呼ばれるものなのですが…やりづらい難問となっています．
東大京大阪大以外の入試問題で「いい問題出すな〜」と思う大学は，千葉大，一橋大，東工大，京府医などがあります（ますプラ調べ）．
問題
(1)$n$を正の整数とする。$x_0,\,x_1,\,\cdots.\,x_n$を閉区間$0\leqq x\leqq 1 $上の相異なる点とする。このとき，$0<x_k-x_j\leqq \dfrac{1}{n}$をみたす$j,\,k$が存在することを示せ。
(2)$\omega$を正の無理数とする。任意の正の整数$n$に対して，$0<l\omega+m\leqq\dfrac{1}{n}$をみたす整数$l,\,m$が存在することを示せ。
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