数列

はじめに 抽象関数に関する問題です．答えの予想はつくのですが，いざ証明するとなると難航すると思います． 早稲田大学は学部ごとに特徴があって個人的に好きです．商学部と理工学部が難しいので有名ですが，本問のように教育学部（理数）も面白い出題がされています．   今回の問題は，難易度Sです．   ますプラの問題演習では，独自でつけた難易度でタグ付け，さらに東大と京大は別でタグ付けをしてあります．見直す際に利用してください． 難易度は以下のようにざっくりと３つに分けています． S：特別な知識や ...

  short summary! 三項間の漸化式は置き換えで二項間まで落とす． まずは一次型の解き方を覚えてイメージを掴む． はじめに 三項間漸化式についてお話しします．よくある一次の形をまず完璧に理解しましょう． 本サイトでは以下のロードマップに従って漸化式を解説していきます． 「解くことの可能な」漸化式に関してはこれで必ず解けます． 「○次」：一般項（$a_n$）がいくつかけられているか 「○項間」：一般項（$a_n$）が何種類あるか で分けていきます．今回は４つ目，　三項間漸化式について解 ...

short summary! 二次以上の漸化式は一次の漸化式まで落とすしかない． まずは①分数式②単項式の２パターンの扱い方を覚えよう． はじめに 本サイトでは以下のロードマップに従って漸化式を解説していきます． 「解くことの可能な」漸化式に関してはこれで必ず解けます． 「○次」：一般項（$a_n$）がいくつかけられているか 「○項間」：一般項（$a_n$）が何種類あるか で分けていきます．今回は３つ目，二次以上の化式について解説します． 二次以上の漸化式…と聞くとなかなか手強そうに聞こえますね． でも安 ...

short summary! 一次型の二項間型の漸化式は「比の形」か「差の形」に帰着させる． はじめに 本サイトでは以下のロードマップに従って漸化式を解説していきます． 「○次」：一般項（$a_n$）がいくつかけられているか 「○項間」：一般項（$a_n$）が何種類あるか で分けていきます．今回は２つ目，一次の二項間漸化式について解説します． 一次の二項間 上のロードマップで赤で示したところですね． 一次の二項間漸化式とは，$a_{n+1}=○\times a_n+△$の形をしたものです． 例） $a_{ ...

short summary! まずは漸化式の意味と構造を理解する． 「差の形」「比の形」の漸化式は「繰り返し用いる」ことで一般項を求めることができる． はじめに 「漸化式の解き方」を解説している教科書やサイトはたくさんあります． しかし，どれも煩雑で場合わけも多く，とても覚えられないと感じる人もいるのではないでしょうか． ここではっきり言っておきたいのですが，10通りも20通りも型を覚える必要はありません． 無駄な場合わけはせず，できるだけ簡潔にまとめました． 本サイトでは以下のロードマップに従って解説し ...

short summary! 公式を確実に覚える →無理なものは階差の形にする はじめに 数列の和は，入試問題としてはそこまで難しいものは出てきません． だからこそ，どのレベルの受験生においてもマスターしておかなければいけない範囲です． 基本的な問題から応用までしっかり扱っていきましょう． 和の記号：Σ まずはシグマ（Σ）という記号の意味，読みかたをおさらいします． まず，Σの上下を見ます． 今回なら「$k=2$」「$n-1$」と書いてありますね．よって上の式は 「$k$に$2$から$n-1$を順番に代入 ...

short summary! 等差数列：$n$の一次関数 等比数列：$n$の指数関数 三項数列は真ん中の項に注目 はじめに 今回は数列の基本２つと三項数列（等差中項・等比中項）について学んでいきましょう． のちに扱います漸化式でも，この２つを軸に考えていきます． 覚えることも少なく，そこまで複雑ではないので安心して進んでください． 等差数列と等比数列 数列は文字通り「数の列」です．いくつかの数字が並んでいます． 並べ方は無限にありますが，その中でも特徴的なものには名前がついています．   等差数 ...