等差数列・等比数列と三項数列

はじめに

今回は数列の基本２つと三項数列（等差中項・等比中項）について学んでいきましょう．

のちに扱います漸化式でも，この２つを軸に考えていきます．

覚えることも少なく，そこまで複雑ではないので安心して進んでください．

等差数列と等比数列

数列は文字通り「数の列」です．いくつかの数字が並んでいます．

並べ方は無限にありますが，その中でも特徴的なものには名前がついています．

等差数列は，「次の数との差＝公差」が等しいものです．

前の数から次の数を作るためには公差を足します．

例）初項が$2$，公差が$3$

\[2,\,5,\,8,\,11,\,14,\cdots\]

等比数列は，「次の数との比＝公比」が等しいものです．

前の数から次の数を作るためには公比をかけます．

例）初項が$2$，公比が$3$

\[2,\,6,\,18,\,54,\,162,\cdots\]

一般項

これらを一般化しましょう．数列{$a_n$}の一般項を$a_n$とします．（初項は$a_1$です）

公差$d$の等差数列　$a_n=(n-1)\cdot d+a_1$

→$n$の一次関数，公差が傾き

公比$r$の等比数列　$a_n=a_1\cdot r^{n-1}$

→$n$の指数関数，公比が底

$n=1$を代入するときちんと初項が出てくることを確認してください．

軽く計算練習をしましょう

公式を覚えてしまうのももちろん構わないのですが，

「等差は一次関数，等比は指数関数」を分かっていれば早いです．

例えば(2)であれば，公差3が傾きなので

\[a_n=3n+○\]

の形までは予想できます．後は$n=3$を代入して$14$になるように○の部分を埋めて

\[a_n=3n+5\]

ですね．

指数の計算が怪しい人は指数法則を復習しておきましょう．

和の計算

公差$d$の等差数列の$a_1〜a_n$までの和

\[\frac12\times(a_1+a_n)\cdot n\]

\[\frac12\times\text{\{(初項)+(末項)\}}\times\text{(項数)}\]

公比$r$の等比数列の$a_1〜a_n$までの和

\[\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}\quad (r\neq1)\]

\[\frac{\text{(初項)}\times(1-\text{(公比)}^{\text{項数}})}{1-\text{(公比)}}\quad (r\neq1)\]

和の計算は公式を覚えるだけなのですが，その際に注意点が１つ．

絶対に数式で覚えないでください．

一応書きはしましたが，大事なのはその下，日本語で書いた方です．

和の公式は日本語で理解しておかないと使い物になりません．

等差数列において必要なのは
「初項」「末項」「項数」←公差不要

等比数列において必要なのは
「初項」「公比」「項数」

です．

それぞれの数列においてどの要素が必要か考えて計算しましょう．

三項数列

本記事の最後，三項数列についてです．

「〜において，a, b, cが等差（等比）数列で」という条件が与えられることがあります．

こうした問題は

真ん中の項（中項）に注目する

と覚えておいてください．

これは市販の教科書のいずれにも載っている事実だと思いますが，何故なのでしょうか．少し掘り進めておきます．

実は等差でも等比でも，三項数列においては”順番”は不要な情報なのです．

\[a,\,a+d,\,a+2d\]

は初項$a$公差$d$の等差数列ですが，逆から読んでも

\[a+2d,\,a+d,\,a\]

と，初項$a+2d$公差$-d$の等差数列になります．

等比数列でも同じです．

順番が不要な情報なら何が大事かというと，「真ん中の項」なのですね．

を覚えておいてください．

（赤字の式は，公差$d$や公比$r$を文字消去した式になっています．）

まとめ