はじめに
曲座標における回転体の体積に関する問題です．
慶應の医学部の問題なのですが，やたら長くて大変なものが多く出題されるので読むだけでも一苦労ですよね…
全くもって典型題ではありませんが，誘導に沿って考えていけばそこまで大変ではないはずです．
今回の問題は，難易度Bです．
ますプラの問題演習では，独自でつけた難易度でタグ付け，さらに東大と京大は別でタグ付けをしてあります．見直す際に利用してください．
難易度は以下のようにざっくりと３つに分けています．
- S：特別な知識や熟考が必要なもの（入試では解けなくても問題なし！）
- A：難問（解けるとアドバンテージ）
- B：典型問題（解けなければディスアドバンテージ）
これは主観的な評価ですし，入試は総合点での勝負ですから，大まかな分類だと思っておいてくださいね．
もくじ
今回の問題
問題
以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。
(1) $\displaystyle0\leqq\alpha<\beta\leqq\frac{\pi}{2}$かつ$R>0$とする。極座標$(r,\,\theta)$に関する条件
\[0\leqq r\leqq R,\ \alpha\leqq\theta\leqq\beta\]
により定まる図形を$x$軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を$T$とする。$T$を$\alpha,\,\beta,\,R$を用いた式で表すと
\[T=（あ）\ \] である。
(2) 極方程式$r=f(\theta)\ (0\leqq\theta\leqq\alpha)$で表される曲線$C$と，$\theta=\alpha$で表される直線$l$および$x$軸の正の部分で囲まれた図形を$S$とする。ただし$0<\alpha<\displaystyle\frac{\pi}{2}$とし，関数$f(\theta)$は連続かつ$f(\theta)>0$をみたし，$0\leqq\theta\leqq\alpha$において増加または減少または定数とする。
$S$を$x$軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を$V(\alpha)$とすると，(1)における$\beta$を$\alpha$に近づけることで，
\[\frac{d}{d\alpha}V(\alpha)=（い）\]
が得られ，したがって
\[V(\alpha)=（う）\]
である。
(3) (2)において$f(\theta)=\sqrt[3]{\cos\theta}$とするとき$\displaystyle V\left(\frac{\pi}{4}\right)$の値を求めると
\[V\left(\frac{\pi}{4}\right)=（え）\]
である。
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