もくじ
解答解説
問題
$l,\,m,\,n$を$3$以上の整数とする。
等式\[\displaystyle \left( \frac{n}{m}-\frac{n}{2}+1 \right) l=2\]を満たす$l,\,m,\,n$の組をすべて求めよ。
さて，整数問題の考え方は３つ押さえておくのでしたね．
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整数の基本3ヶ条とその利用
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- 約数・倍数関係に注目する
- 大小関係に注目する
- 余りに注目する
この３つのどれを用いて「整数の範囲を絞り込むか」が整数問題攻略の鍵となります．
さて，今回の問題でまず気にするべきことは
・左辺が分数形であること
・文字が３つあること
の二点です．
そもそも分数形の場合は，「約数・倍数関係」は使うことができませんから，この式をいきなり
「$l$は$2$の約数なので〜〜」
などと書いてしまっては大きな誤りとなります．
そうなると，分母を払って両辺を整数のみの式にすることが必要です．
しかし分母を払うと今後は文字が３つある状況が邪魔をして，なかなか約数・倍数関係が見えづらくなってしまうのです．
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整数の基本1：約数・倍数関係
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そこで発想を変えて，大小関係に注目してみましょう．
自然数をかけて$2$になるのならば，$\displaystyle\frac{n}{m}-\frac{n}{2}+1$は少なくとも$0$より大きくなくてはなりません．
しかし，$n,\,m$が大きくなれば明らかに$\frac{n}{m}$が$\frac{n}{2}$よりも小さくなりますから，この状況は「不自然」＝「整数を絞り込む条件として強力」と考えられます．
「自然数」や（今回のように）「〜以上の数」と与えられている場合は，整数の範囲がすでに下から不等式評価し終わっている状況と言えます．
つまり，上から不等式評価で整数を押さえることができれば，「○$<$整数$<$×」となって解の候補は有限個に限られるのです．
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整数の基本2：大小関係（不等式評価）
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$\displaystyle\frac{n}{m}-\frac{n}{2}+1>0$の式から，$m$または$n$について上から不等式評価できれば後はスムーズに解くことができるでしょう．
解答
$\displaystyle \left( \frac{n}{m}-\frac{n}{2}+1 \right) l=2\cdots①$とおく。$l>0$より，①が成立しているとき，
\[\frac{n}{m}-\frac{n}{2}+1>0\cdots②\]が必要である。
\begin{align*}
②&\Leftrightarrow\frac{n}{m}>\frac{n-2}{2}\\
&\Leftrightarrow\frac{2n}{n-2}>m\cdots③
\end{align*}
ここで，$m\geqq3$であるので，
\[\frac{2n}{n-2}\geqq3\Leftrightarrow6\geqq n\cdots④\]
よって，$m\geqq3,\,n\geqq3$と③④より，$m,\,n$の組は
\[(m,\,n)=(3,\,3),\,(3,\,4),\,(3,\,5)\]\[(4,\,3),\,(5,\,3)\]
の$5$つに絞られる。①に代入して$l$を求めると，求める$l,\,m,\,n$の組は，
\begin{align*}
&(l,\,m,\,n)\\
=&(4,\,3,\,3),\,(6,\,3,\,4),\,(12,\,3,\,5)\\
&(8,\,4,\,3),\,(20,\,5,\,3)
\end{align*}