【難度A】演習５〜大阪大学・2010年〜

解答解説

さて，整数問題の考え方は３つ押さえておくのでしたね．

この３つのどれを用いて「整数の範囲を絞り込むか」が整数問題攻略の鍵となります．

さて，今回の問題でまず気にするべきことは

・左辺が分数形であること
・文字が３つあること

の二点です．

そもそも分数形の場合は，「約数・倍数関係」は使うことができませんから，この式をいきなり

「$l$は$2$の約数なので〜〜」

などと書いてしまっては大きな誤りとなります．

そうなると，分母を払って両辺を整数のみの式にすることが必要です．

しかし分母を払うと今後は文字が３つある状況が邪魔をして，なかなか約数・倍数関係が見えづらくなってしまうのです．

そこで発想を変えて，大小関係に注目してみましょう．

自然数をかけて$2$になるのならば，${\displaystyle \frac{n}{m}-\frac{n}{2}+1}$は少なくとも$0$より大きくなくてはなりません．

しかし，$n,m$が大きくなれば明らかに$\frac{n}{m}$が$\frac{n}{2}$よりも小さくなりますから，この状況は「不自然」＝「整数を絞り込む条件として強力」と考えられます．

「自然数」や（今回のように）「〜以上の数」と与えられている場合は，整数の範囲がすでに下から不等式評価し終わっている状況と言えます．

つまり，上から不等式評価で整数を押さえることができれば，「○$<$整数$<$×」となって解の候補は有限個に限られるのです．

${\displaystyle \frac{n}{m}-\frac{n}{2}+1>0}$の式から，$m$または$n$について上から不等式評価できれば後はスムーズに解くことができるでしょう．