【難度A】演習3〜千葉大学・2010年（後期）〜

(1)$n$を正の整数とする。$x_0,x_1,\cdots .x_n$を閉区間$0\leqq x\leqq 1$上の相異なる点とする。このとき，$0<x_k-x_j\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}$をみたす$j,k$が存在することを示せ。

(2)$\omega$を正の無理数とする。任意の正の整数$n$に対して，$0<l\omega +m\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}$をみたす整数$l,m$が存在することを示せ。

(1)

閉区間$0\leqq x\leqq 1$を，$n$個の区間
$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{k-1}{n}}\leqq x<{\displaystyle \frac{k}{n}}\\ & (k=1,2,\cdots ,n-1)\\ & {\displaystyle \frac{n-1}{n}}\leqq x\leqq 1\end{array}$$
に分ける。このとき，$n+1$個の相異なる実数
$$x_0,x_1,\cdots ,x_{n-1},x_n$$
のうち少なくとも$2$つは同じ区間に属する。これを$x_i,x_j(x_i<x_j)$とすると，
$$0<x_j-x_i\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}$$
となる。よって題意は示せた。

(2)

正の無理数$\omega$に対して$n+1$個の実数
$$0\cdot \omega -[0\cdot \omega ],1\cdot \omega -[1\cdot \omega ],\cdots$$$$\cdots n\cdot \omega -[n\cdot \omega ]$$
について考える。ただし，実数$x$に対して$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表すものとする。このとき，
$$0\leqq k\omega -[k\omega ]<1(k=0,1,\cdots ,n)$$
であるから，これら$n+1$個の実数のうち少なくとも$2$つは(1)の$n$個の区間について同じ区間に属する。そのような$k$を$s,t(s<t)$としたとき，$a=t-s,b=[t\omega ]-[s\omega ]$とすると，$a,b$は整数であり，
$$\begin{array}{rl}& |a\omega -b|\\ =& |(t-s)\omega -([t\omega ]-[s\omega ])|\\ =& |(t\omega -[t\omega ])-(s\omega -[s\omega ])|\leqq \frac{1}{n}\end{array}$$
をみたす。また，$\omega$は無理数なので$a\omega +b\ne 0$である。

よって，$0<|a\omega -b|\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}$が成立しており， $$\begin{array}{rl}a\omega -b>0\text{ならば，}& 0<a\omega -b\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}\\ a\omega -b<0\text{ならば，}& 0<-a\omega +b\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}\end{array}$$
となって，題意をみたす整数$l,m$の存在が示された。