【難度B】演習9（理）〜横浜国立大学・2009年（後期）〜

$x>0$で定義された関数

$$f(x)=(1+\frac{a}{x})(1+\frac{1}{x}{)}^x$$

を考える．ただし，$a$は定数である．次の問いに答えよ．

(1) $a=0$のとき，$f(x)$は増加関数であることを示せ．

(2) ${\displaystyle a\geqq \frac{1}{2}}$のとき，$f(x)$は減少関数であることを示せ．

(1)

$a\geqq 0,x>0$のとき両辺正であるので，自然対数をとると，

$$\begin{array}{rl}\log f(x)& =\log \frac{(x+a)}{x}\frac{(x+1{)}^x}{x^x}\\ & =\log (x+a)-\log x\\ & +x\log (x+1)-x\log x\end{array}$$

両辺を微分して，

$$\begin{array}{rl}\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}& =\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x}+\log (x+1)\\ & +\frac{x}{x+1}-\log x-1\\ & =\log (x+1)-\log x+\frac{1}{x+a}\\ & -\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}g(x)=& \log (x+1)-\log x\\ & +\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\end{array}$$

とおく．

$a=0$のとき，${\displaystyle g(x)=\log (x+1)-\log x-\frac{1}{x+1}}$である．$x$で微分すると，

$$\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(x)& =\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{(x+1{)}^2}\\ & =-\frac{1}{x(x+1{)}^2}\end{array}$$

これは$x>0$で負であるので，$g(x)$は単調減少．また，

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}g(x)=0$$

であるため，${\displaystyle g(x)>0\iff \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}>0}$が成立する．$x>0$で$f(x)>0$なので，$f^{\prime }(x)>0$

以上より，$f(x)$は増加関数であることが示せた．

(2)

$a\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，

分子について，$a\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$より各係数は$0$以上．よって，$x>0$で$g^{\prime }(x)$は正であるので，$g(x)$は単調増加．また，

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}g(x)=0$$

であるため，${\displaystyle g(x)<0\iff \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}<0}$が成立する．$x>0$で$f(x)>0$なので，$f^{\prime }(x)<0$

以上より，$f(x)$は減少関数であることが示せた．