ますプラ - 3ページ

2020/9/4

漸化式全パターン徹底解説①：基本２型

short summary! まずは漸化式の意味と構造を理解する．「差の形」「比の形」の漸化式は「繰り返し用いる」ことで一般項を求めることができる．はじめに「漸化式の解き方」を解説している教科書やサイトはたくさんあります．しかし，どれも煩雑で場合わけも多く，とても覚えられないと感じる人もいるのではないでしょうか．ここではっきり言っておきたいのですが，10通りも20通りも型を覚える必要はありません．無駄な場合わけはせず，できるだけ簡潔にまとめました．本サイトでは以下のロードマップに従って解説し ...

2020/8/26

【速習】数列の和・Σ計算

short summary! 公式を確実に覚える →無理なものは階差の形にするはじめに数列の和は，入試問題としてはそこまで難しいものは出てきません．だからこそ，どのレベルの受験生においてもマスターしておかなければいけない範囲です．基本的な問題から応用までしっかり扱っていきましょう．和の記号：Σ まずはシグマ（Σ）という記号の意味，読みかたをおさらいします．まず，Σの上下を見ます．今回なら「 $k = 2$ 」「 $n - 1$ 」と書いてありますね．よって上の式は「 $k$ に $2$ から $n - 1$ を順番に代入 ...

2020/8/26

等差数列・等比数列と三項数列

short summary! 等差数列： $n$ の一次関数等比数列： $n$ の指数関数三項数列は真ん中の項に注目はじめに今回は数列の基本２つと三項数列（等差中項・等比中項）について学んでいきましょう．のちに扱います漸化式でも，この２つを軸に考えていきます．覚えることも少なく，そこまで複雑ではないので安心して進んでください．等差数列と等比数列数列は文字通り「数の列」です．いくつかの数字が並んでいます．並べ方は無限にありますが，その中でも特徴的なものには名前がついています．等差数 ...

2020/9/2

「互いに素」利用と証明の演習

short summary! 互いに素は否定と肯定の定義を軸に考えよう！ →「互いに素」の解説はじめに今回は「互いに素」がテーマとなる問題の演習を積んでいきましょう．別の記事（下にリンクあり）で「互いに素」について定義からしっかりと解説しているので，学習してから本記事を見てください．問題問題1 $a, b, c$ を0でない整数とする． $x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0$ が有理数解を持つなら，それは整数に限ることを示せ．問題2 $a, b$ を互いに素な2数とするとき，以下の2数の組 ...

2020/8/26

背理法：論証における「否定」の利用について

short summary! $A \Rightarrow B$ を $A \cup \overset{―}{B} \Rightarrow ϕ$ に変換証明問題では一度使えるか試す「矛盾」がどこから生まれるか考えるはじめに今回は「否定」特に論証における利用について考えていきます．背理法は数ある証明の方法の中でもとても強力なものです．是非マスターしましょう！似ているもので対偶法との違いについても解説していきます．背理法とはまずは背理法とは何かというところから．証明問題では，「条件Aが与 ...

2020/9/2

定義から紐解く有理数と無理数

short summary! ・有理数 →分数を代入，整数条件と「互いに素」の利用を意識する・無理数 →「否定」の利用を意識するはじめに有理数と無理数を初めて習ったのは中学生の時のはずです．でも「整理して説明せよ」と言われたら詰まってしまう人も多いのではないでしょうか．実は，定義から順を追って理解すれば問題はワンパターン．分量が多くなってしまいましたが，しっかり覚えていきましょう！定義：有理数と無理数まずは定義からです．ここが全ての肝になりますから必ず押さえましょう．有理数：既約分数で表 ...

2020/8/26

「素数」の性質と使い方まとめ

short summary! 素数条件は「約数・倍数関係」→「剰余系」の順番で攻める！それではいきましょう！はじめに東大や京大をはじめとする入試問題で「素数」という条件はよく出題されます．「整数」という条件だけでも強力であることはわかっていると思いますが，整数の中でも「素数」は圧倒的に強い条件です．ですので問題に「素数」が出てきた場合は，他の条件そっちのけで利用しにいくぐらいの意識を持っておいてください．今回はそんな「素数」の性質や使い所をまとめていきましょう．素数条件の利用素数である以前 ...

2020/8/26

「互いに素」の性質と使い方まとめ

short summary! 「互いに素」の2つの定義・最大公約数が $1$ ・共通素因数をもたないに沿って利用・証明を覚えるそれでは見ていきましょう！はじめに「互いに素」という条件は有理数や最大公約数などの問題で登場します．素数とともに強い条件ですので，「互いに素の利用」と「互いに素の証明」の両方を得意にしていきましょう．「互いに素」の定義まずは以下の２つを頭に叩き込みましょう．互いに素数，では決してないので気をつけてください． ①「肯定」最大公約数が $1$ である ②「否定」共通素因数を持 ...

2020/8/26

必要と十分と必要十分

short summary! 「矢の先が必要」でとりあえず暗記必要は大きいイメージ・十分は小さいイメージはじめに「必要と十分」きちんとわかっていますか？日本語でもよく使う馴染みのある言葉のはずですが，いまいちよく理解出来ていない人も多いかと思います．今回は定義から丁寧に解説していきます．しっかり読み込んでもらえれば，この先絶対に混同することはないはずです．必要と十分とは必要と十分は集合の包含関係を表しています．上の場合であれば，BがAを包含していますから， \[A\Rightarrow B\ ...

2020/8/26

「同様に確からしい」とは

short summary! 確率の問題では（問題の設定に関わらず）物と組を区別するのが得策はじめに確率の問題を解いていると「同様に確からしい」という言葉に出会うでしょう．しかもかなり序盤のはずです．にも関わらず，意外と理解出来ている人が少なく，混乱しがちなところ．この記事を読めば「同様に確からしい」について完璧に理解できるはずです．頑張っていきましょう！「同様に確からしい」とは確率の問題において，事象 $E$ の起こる確率 $P (E)$ は，全事象の場合の数 $n (U)$ と事象 $E$ の起こる場合の数 ...

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sato

国公立医学部卒の医師．学生時代から書き溜めた数学のまとめを，無料で使えるオンライン教科書「ますプラ」として発信中．"知識を有機的に結びつける"をテーマとして，大学入試に役立つ数学の解説を書いていきます．

2020/9/28

【難度A】演習11〜東京都立大学・1987年〜

はじめに多項式の集合と写像に関する問題です．集合と言えば数を含んでいるイメージが強いでしょうが，「一次式」全体を集合と捉えて他の多項式との対応関係（＝関数）を考えてもなんら問題ありません．とっつきづらいかもしれませんが… 今回の問題は，難易度Aです．ますプラの問題演習では，独自でつけた難易度でタグ付け，さらに東大と京大は別でタグ付けをしてあります．見直す際に利用してください．難易度は以下のようにざっくりと３つに分けています． S：特別な知識や熟考が必要なもの（入試では ...

2020/10/1

【難度B】演習15〜早稲田大学（商）・2019年〜

はじめに整式を決定する問題です．積分方程式（関数方程式）の形をとっていますが，どこから手をつけるのが良いでしょうか．今回の問題は，難易度Bです．ますプラの問題演習では，独自でつけた難易度でタグ付け，さらに東大と京大は別でタグ付けをしてあります．見直す際に利用してください．難易度は以下のようにざっくりと３つに分けています． S：特別な知識や熟考が必要なもの（入試では解けなくても問題なし！） A：難問（解けるとアドバンテージ） B：典型問題（解けなければディスアドバンテー ...

2020/9/28

【難度B】演習14（理）〜愛知県立大学〜

はじめにたくさんの正方形が登場する問題です．３点が一直線上にあることを示す方法はいくつかありますが，どれを考えるのが得策でしょうか… 今回の問題は，難易度Bです．ますプラの問題演習では，独自でつけた難易度でタグ付け，さらに東大と京大は別でタグ付けをしてあります．見直す際に利用してください．難易度は以下のようにざっくりと３つに分けています． S：特別な知識や熟考が必要なもの（入試では解けなくても問題なし！） A：難問（解けるとアドバンテージ） B：典型問題（解けなければデ ...

2020/9/28

【難度S】演習13〜早稲田大学（教育）・2017年〜

はじめに抽象関数に関する問題です．答えの予想はつくのですが，いざ証明するとなると難航すると思います．早稲田大学は学部ごとに特徴があって個人的に好きです．商学部と理工学部が難しいので有名ですが，本問のように教育学部（理数）も面白い出題がされています．今回の問題は，難易度Sです．ますプラの問題演習では，独自でつけた難易度でタグ付け，さらに東大と京大は別でタグ付けをしてあります．見直す際に利用してください．難易度は以下のようにざっくりと３つに分けています． S：特別な知識や ...

2020/9/28

【難度B】演習12（理）〜名古屋市立大学〜

はじめに極線に関する基本的な問題です．テーマとして知っているかどうか，とった類の問題で，近年はあまり見かけませんがやっておいて損はないでしょう．今回の問題は，難易度Bです．ますプラの問題演習では，独自でつけた難易度でタグ付け，さらに東大と京大は別でタグ付けをしてあります．見直す際に利用してください．難易度は以下のようにざっくりと３つに分けています． S：特別な知識や熟考が必要なもの（入試では解けなくても問題なし！） A：難問（解けるとアドバンテージ） B：典型問題（解 ...

2020/9/28

【難度A】演習11〜東京都立大学・1987年〜

2020/10/1

【難度B】演習15〜早稲田大学（商）・2019年〜

2020/9/28

【難度B】演習14（理）〜愛知県立大学〜

2020/9/28

【難度S】演習13〜早稲田大学（教育）・2017年〜

2020/9/28

【難度B】演習12（理）〜名古屋市立大学〜

2020/9/28

【難度A】演習11〜東京都立大学・1987年〜