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short summary! まずは漸化式の意味と構造を理解する． 「差の形」「比の形」の漸化式は「繰り返し用いる」ことで一般項を求めることができる． はじめに 「漸化式の解き方」を解説している教科書やサイトはたくさんあります． しかし，どれも煩雑で場合わけも多く，とても覚えられないと感じる人もいるのではないでしょうか． ここではっきり言っておきたいのですが，10通りも20通りも型を覚える必要はありません． 無駄な場合わけはせず，できるだけ簡潔にまとめました． 本サイトでは以下のロードマップに従って解説し ...

short summary! 公式を確実に覚える →無理なものは階差の形にする はじめに 数列の和は，入試問題としてはそこまで難しいものは出てきません． だからこそ，どのレベルの受験生においてもマスターしておかなければいけない範囲です． 基本的な問題から応用までしっかり扱っていきましょう． 和の記号：Σ まずはシグマ（Σ）という記号の意味，読みかたをおさらいします． まず，Σの上下を見ます． 今回なら「$k=2$」「$n-1$」と書いてありますね．よって上の式は 「$k$に$2$から$n-1$を順番に代入 ...

short summary! 等差数列：$n$の一次関数 等比数列：$n$の指数関数 三項数列は真ん中の項に注目 はじめに 今回は数列の基本２つと三項数列（等差中項・等比中項）について学んでいきましょう． のちに扱います漸化式でも，この２つを軸に考えていきます． 覚えることも少なく，そこまで複雑ではないので安心して進んでください． 等差数列と等比数列 数列は文字通り「数の列」です．いくつかの数字が並んでいます． 並べ方は無限にありますが，その中でも特徴的なものには名前がついています．   等差数 ...

short summary! 互いに素は否定と肯定の定義を軸に考えよう！ →「互いに素」の解説 はじめに 今回は「互いに素」がテーマとなる問題の演習を積んでいきましょう． 別の記事（下にリンクあり）で「互いに素」について定義からしっかりと解説しているので，学習してから本記事を見てください． 問題   問題1$a,\,b,\,c$を0でない整数とする．$x^3+ax^2+bx+c=0$が有理数解を持つなら，それは整数に限ることを示せ． 問題2$a,\,b$を互いに素な2数とするとき，以下の2数の組 ...

short summary! $A\Rightarrow B\ $を$\ A\cup \overline{B}\Rightarrow \phi\ $に変換 証明問題では一度使えるか試す 「矛盾」がどこから生まれるか考える はじめに 今回は「否定」特に論証における利用について考えていきます． 背理法は数ある証明の方法の中でもとても強力なものです．是非マスターしましょう！ 似ているもので対偶法との違いについても解説していきます． 背理法とは まずは背理法とは何かというところから． 証明問題では， 「条件Aが与 ...

short summary! ・有理数 →分数を代入，整数条件と「互いに素」の利用を意識する ・無理数 →「否定」の利用を意識する はじめに 有理数と無理数を初めて習ったのは中学生の時のはずです． でも「整理して説明せよ」と言われたら詰まってしまう人も多いのではないでしょうか． 実は，定義から順を追って理解すれば問題はワンパターン． 分量が多くなってしまいましたが，しっかり覚えていきましょう！ 定義：有理数と無理数 まずは定義からです．ここが全ての肝になりますから必ず押さえましょう． 有理数：既約分数で表 ...

short summary! 素数条件は「約数・倍数関係」→「剰余系」の順番で攻める！ それではいきましょう！ はじめに 東大や京大をはじめとする入試問題で「素数」という条件はよく出題されます． 「整数」という条件だけでも強力であることはわかっていると思いますが，整数の中でも「素数」は圧倒的に強い条件です． ですので問題に「素数」が出てきた場合は，他の条件そっちのけで利用しにいくぐらいの意識を持っておいてください． 今回はそんな「素数」の性質や使い所をまとめていきましょう． 素数条件の利用 素数である以前 ...

short summary! 「互いに素」の2つの定義 ・最大公約数が$1$ ・共通素因数をもたない に沿って利用・証明を覚える それでは見ていきましょう！ はじめに 「互いに素」という条件は有理数や最大公約数などの問題で登場します． 素数とともに強い条件ですので，「互いに素の利用」と「互いに素の証明」の両方を得意にしていきましょう． 「互いに素」の定義 まずは以下の２つを頭に叩き込みましょう．互いに素数，では決してないので気をつけてください． ①「肯定」最大公約数が$1$である ②「否定」共通素因数を持 ...

short summary! 「矢の先が必要」でとりあえず暗記 必要は大きいイメージ・十分は小さいイメージ はじめに 「必要と十分」きちんとわかっていますか？ 日本語でもよく使う馴染みのある言葉のはずですが，いまいちよく理解出来ていない人も多いかと思います． 今回は定義から丁寧に解説していきます．しっかり読み込んでもらえれば，この先絶対に混同することはないはずです． 必要と十分とは 必要と十分は集合の包含関係を表しています．上の場合であれば，BがAを包含していますから， \[A\Rightarrow B\ ...

short summary! 確率の問題では（問題の設定に関わらず）物と組を区別するのが得策 はじめに 確率の問題を解いていると「同様に確からしい」という言葉に出会うでしょう．しかもかなり序盤のはずです． にも関わらず，意外と理解出来ている人が少なく，混乱しがちなところ． この記事を読めば「同様に確からしい」について完璧に理解できるはずです． 頑張っていきましょう！ 「同様に確からしい」とは 確率の問題において，事象$E$の起こる確率$P(E)$は，全事象の場合の数$n(U)$と事象$E$の起こる場合の数 ...